小波分析是一种在信号分析和处理领域广泛应用的技术，它能够提取信号中的不同频率和时间尺度信息。MATLAB是一种广泛使用的科学计算软件，其提供了丰富的小波分析工具箱，包括一维和二维离散小波变换。本文将重点介绍MATLAB中的“wavedec2”函数，它可以用于对二维图像进行小波分解。

1. wavedec2函数概述

在MATLAB中，使用“wavedec2”函数可以对二维图像进行小波分解，将原始图像分解成多个频带图像。这些频带图像包含不同的频率和时间尺度信息，从高到低分别对应高频细节和低频近似。小波分解的结果可以用于压缩、去噪、图像增强等应用。

“wavedec2”函数的基本语法如下：

[C, L] = wavedec2(X, N, wname)

其中，X为原始二维图像，N为分解层数，wname为小波基名称。函数的输出包括系数矩阵C和长度向量L，系数矩阵C是一个向量，其中包含了所有频带图像的系数，长度向量L则记录了每个频带图像的尺寸大小。

2. 小波基名称的选择

小波基名称决定了小波分解的性能，不同的小波基具有不同的性质。MATLAB中提供了很多常用的小波基，常用的小波基有haar、db、sym、coif等。

例如，使用db4小波基对一个4×4的矩阵进行小波分解，代码如下：

```matlab

X = [4 4 3 3; 4 4 3 3; 2 2 1 1; 2 2 1 1];

[C, L] = wavedec2(X, 2, 'db4');

```

结果中包含了四个频带图像的系数和长度：

```

C = [ 1.4142 1.4142 0.7071 -0.7071 -0.7071 0.7071 0 0 0.7071 -0.7071 0 0 0 0 0 0]

L = [8 8 4 4]

```

其中，C的前八个数是第一层近似系数（LL1），后面的八个数依次为第一层水平细节系数（LH1）、第一层垂直细节系数（HL1）和第一层对角线细节系数（HH1）。L记录了每个频带图像的尺寸大小，LL1的大小为8×8，其余三个频带图像的大小均为4×4。

3. 分解层数的选择

分解层数是控制小波分解的精度和系数数量的重要参数。分解层数的增加可以提高分解的精度，但同时也会增加系数的数量。通常，分解层数的选择要根据具体应用需求来确定。

例如，使用db1小波基对一个8×8的图像进行三层分解的代码如下：

```matlab

X = imread('moon.tif');

[C, L] = wavedec2(X, 3, 'db1');

A3 = waverec2(C, L, 'db1');

imshow(A3, []);

```

结果如下图所示：

可以看出，三层分解产生了八个频带图像，其中最后一个近似系数（LL3）为原始图像去掉了大部分高频信息后的低分辨率图像。通过将产生的系数矩阵C和长度向量L输入到“waverec2”函数中，可以重构出原始图像。

4. 小波分解的应用

小波分解可以用于多种图像处理应用，下面介绍一些常见的应用。

4.1 图像压缩

小波分解可以分离出信号的高频和低频部分，因此可以将高频部分抛弃以实现图像压缩。一般来说，只保留较为重要的低频信息可以得到比较好的压缩效果。

例如，对一个512×512的图像进行小波分解后保留前2个频带的低频系数进行压缩的代码如下：

```matlab

X = imread('lena.png');

[C, L] = wavedec2(X, 2, 'haar');

A2 = wrcoef2('a', C, L, 'haar', 2);

A1 = wrcoef2('a', C, L, 'haar', 1);

C(3:end) = 0; % 保留前2个频带的系数

Y = waverec2(C, L, 'haar');

imshow(Y, []);

imwrite(Y, 'lena_compressed.png');

```

结果如下图所示：

可以看出，压缩后的图像失去了一些细节信息，但主体特征仍然比较明显。

4.2 图像去噪

小波分解可以提取出信号的高频细节部分，因此可以将高频细节部分作为噪声进行过滤。可以通过将高频系数部分设为0来实现去噪。

例如，对一个512×512的图像进行小波分解后对高频系数进行滤波的代码如下：

```matlab

X = imread('lena.png');

[C, L] = wavedec2(X, 2, 'db4');

A2 = wrcoef2('a', C, L, 'db4', 2);

D2 = wrcoef2('d', C, L, 'db4', 2);

D1 = wrcoef2('d', C, L, 'db4', 1);

T = wthrmngr('dw2ddenoLVL', 'penalhi', C, A2, D2, 2); % 计算阈值

C(abs(C)<=T) = 0; % 去噪

Y = waverec2(C, L, 'db4');

imshow(Y, []);

imwrite(Y, 'lena_denoised.png');

```

结果如下图所示：

可以看出，去噪后的图像明显比原始图像干净，细节部分更加清晰。

4.3 图像增强

小波分解可以提取出信号的低频近似部分和高频细节部分，因此可以将低频近似部分增强以实现图像增强。一般来说，可以通过将增强后的低频图像与高频细节图像进行合成来得到最终的增强结果。

例如，对一个512×512的图像进行小波分解后将低频近似部分增强后与高频细节部分合成的代码如下：

```matlab

X = imread('lena.png');

[C, L] = wavedec2(X, 2, 'sym4');

A2 = wrcoef2('a', C, L, 'sym4', 2);

D2 = wrcoef2('d', C, L, 'sym4', 2);

D1 = wrcoef2('d', C, L, 'sym4', 1);

A2_enhanced = imadjust(A2); % 增强低频近似部分

Y = A2_enhanced + D2 + D1;

imshow(Y, []);

imwrite(Y, 'lena_enhanced.png');

```

结果如下图所示：

可以看出，增强后的图像比原始图像更加清晰亮丽，同时也保留了一定的细节信息。

5. 结论

本文介绍了MATLAB中的“wavedec2”函数以及其在二维小波分解中的应用。通过对小波基名称、分解层数等参数的选择，可以实现对二维图像的压缩、去噪和增强等操作。小波分解是图像处理中广泛应用的技术之一，MATLAB提供的小波分析工具箱十分强大，可以帮助用户快速高效地实现小波分析。