在高等数学中，gamma函数是一种非常重要的特殊函数，它在各个领域都有着广泛的应用。对于许多人来说，它可能会显得十分抽象和复杂，但事实上，它的定义和性质却十分有趣和奇妙。而其中又有一种非常特殊的gamma函数，称为“不完全”gamma函数，它更是令人玩味无穷，接下来，我将为大家介绍一下。

首先，我们来一起回顾一下gamma函数本身的定义。

Gamma函数（γ(n)）是Riemann（黎曼）在证明可拓性定理时引入的特殊函数，在数论、统计学、物理学、金融学等领域中都有广泛的应用。其定义为：

γ(n) = ∫0∞ t^(n-1) e^(-t) dt (其中，n是实数或复数)

这里面，t^(n-1) e^(-t) 就是我们称之为Gamma分布的局部密度函数，而 Gamma 函数就是这个 Gamma 分布的“扩展阶乘”形式的函数实现。

γ(n+1) = n! （特别地，γ(1)=1 ，γ(2)=1 ）

正如名字所示，gamma函数的值与阶乘有着极大的关系。对于正整数n，γ(n)就是 n-1 的阶乘，当 n 取到 1 的时候，γ(1)就是 0!。

但是当定义域扩展到实数和复数时，gamma函数就会呈现出一些更加神奇的性质。比如，它在整个复平面上都是全纯函数，满足函数方程：γ(z+1)=z·γ(z)，这使得它能够被广泛地用于一些复杂的计算中。除此之外，gamma函数也满足一些非常重要的递推公式、反演公式、积分变换等等。

那么，在gamma函数的基础上，我们再来看看“不完全”gamma函数到底是什么？

事实上，不完全gamma函数是gamma函数的一种广义形式，它的定义则与gamma函数有几分相似，但同时也有些不同寻常之处。

对于复数s和正实数x，我们来考虑这样一个表达式：

Γ(s,x) = ∫x∞ t^(s-1) e^(-t) dt (其中，s是复数，x是实数)

这里面的Γ(s,x)就是所谓的“不完全”gamma函数。与gamma函数不同，它的下限从0变成了x，因此也被称作“不完全”。同时，我们可以发现，当 x=0 时，它就退化成了其它形式的gamma函数。

那么这个Γ(s,x)函数究竟有什么用途呢？

其实，不完全gamma函数也受到了广泛的应用。比如，在物理学中，它在量子力学、统计物理等领域都有着重要的作用，被用来计算各种有关动量、波函数、速度分布等等物理量的期望值和方差。同样，在统计学与金融学中，它也能够被用来计算各种分布函数的概率密度，以及价格波动率的分析等等。

此外，不完全gamma函数也和gamma函数一样，也有一些性质与性质方程式。比如，对于不同的s和x，Γ(s,x)满足不完全gamma函数方程：

Γ(s,x) + Γ(s+1,x) = x^(s) e^(-x)

这个方程式类似于gamma函数的函数方程 γ(z+1)=z·γ(z)。它可以被用来推导一些关于不完全gamma函数的递归公式，以及一些特殊的积分变换等等。

最后，不完全gamma函数还有一个比较有趣的数值特性，就是局部峰值的出现。图像表明，如果s取值很大，且随着x的增加，不完全gamma函数会显示一个峰值（局部最大值）。

这种现象源于对不完全gamma函数积分表达式的整体特征的考虑。一个值很大的s意味着在一定程度上有着“收缩”(concentration)的趋势，而随着x的增加，原函数于某个地方将达到最大值，这个点的位置即为这个峰值的位置。

因此，我们可以发现，“不完全”gamma函数与gamma函数一样，也有着极其特殊的性质和应用。它不但能够被广泛地应用在各种领域中，而且还具有自己独特的递推公式、积分变换等等。相信在未来的研究中，“不完全”gamma函数也将继续发挥着重要作用，成为高等数学中又一个不可或缺的组成部分。