《复变函数第四版答案》是典型的与主教材相配套的辅助教材，几乎全面涵盖了主教材的章节内容，并且有很多练习题，其中不少需要复杂的计算和推导过程。若是考虑到学生的实际问题与课堂时间限制，这些题目并非每个人都能在课堂上独立完成，因此，《复变函数第四版答案》就显得十分重要了。

下面会详细讲解《复变函数第四版答案》的内容、题目解法和解答方法。

一、全书概述

《复变函数第四版答案》全书共分为12章，涵盖了复变函数的基础知识和进阶理论，包括复平面上解析函数、复积分、留数定理、幂级数、狄利克雷问题、全纯函数的级数展开等等，其中还有一章专门章节解答，给出了特别详细的题目解释和解答方式。该书每个章节都有习题，书末还有附录，包括伯努利数和斯特林数，深入解析了这些数学概念的应用。

第一章到第四章是复变函数的基础知识，其中第二章的重点内容是复导数的性质与基本公式；第三章学习了复积分的基本概念、性质和计算方法；第四章介绍了留数定理和掌形积分的重要应用。

第五章和第六章介绍了幂级数和狄利克雷问题，并且详细解释了它们的性质和应用。第七章和第八章重点介绍了全纯函数和级数展开的内容，包括泰勒级数、洛朗级数和幂级数展开。

第九章到第十章着重介绍单叶性和复合函数的知识点，最终引入了黎曼映射定理。第十一章讲述了全纯函数在整个复平面上的性质，即全纯函数在零点周围的幂级数，最后介绍了谐函数和亚纯函数的概念。

本书最后一章提供了详细的题目解析，每个题目都有详细的解析过程，并且对解答方法进行了同样详细的解释。

二、题目解法与解答方法

下面以第二章的一道题目为例，简单概述题目解法与解答方法。

例题：设 $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ 为解析函数，且 $|f(z)|=1$，整个复平面上，试证明 $u_x^2+u_y^2=v_x^2+v_y^2$，并且分别给出 $u+v$ 与 $u-v$ 的一个表达式。

解析：首先，利用了模长与变量的偏导数有关的知识，因为对于 $|f(z)|^2$的导数，根据链式规则，可得：

$$\frac{\partial|f(z)|^2}{\partial x}=\frac{\partial|f(z)|^2}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial|f(z)|^2}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$$

式子右边的两个导数可以利用 $f(z)$ 的定义来计算。因此，下面给出完整解答：

证明：

$$|f(z)|^2=u^2+v^2$$

$$\frac{\partial|f(z)|^2}{\partial x}=2u_xu+2v_xv$$

$$\frac{\partial|f(z)|^2}{\partial y}=2u_yu+2v_yv$$

由于$f(z)$为解析函数，所以$u$和$v$都是调和函数，即：

$$u_{xx}+u_{yy}=0$$$$v_{xx}+v_{yy}=0$$

因此，两个式子相加可得：

$$u_{xx}+u_{yy}+v_{xx}+v_{yy}=0$$

即：

$$u_x^2+u_y^2+v_x^2+v_y^2=0$$

因为 $|f(z)|=1$，因此上述式子可化为：

$$u_x^2+u_y^2=v_x^2+v_y^2$$

因此，这道题目可以解决。

部分解答：

$$u+v=e^{\frac{1}{2}(u+iv)}+e^{-\frac{1}{2}(u+iv)}=2\cosh(\frac{1}{2}u)\cos(\frac{1}{2}v)$$$$u-v=i\{e^{\frac{1}{2}(u+iv)}-e^{-\frac{1}{2}(u+iv)}\}=2\sinh(\frac{1}{2}u)\sin(\frac{1}{2}v)$$

通过全书的学习和题目解答实例，读者可以更深入地理解复变函数的概念和理论，正确运用数学方法解决各类问题。