《深入解析复变函数》是一本经典的复变函数教材，已经出版了四个版本。这本教材以其深刻的数学思想和优秀的解析技巧而闻名。对于学习者来说，难免会在学习过程中遇到一些难题，这时，有相关的答案可以帮助我们更好地理解和掌握知识。

下面，我们就来深入解析《复变函数第四版》的全部答案。

第一章

1.1 根据化简后的复数，求模。

在求模的过程中，要注意模的定义：模等于该复数与其共轭复数的乘积的平方根。如果该复数本身为实数，则模即为它本身的绝对值。

1.2 计算复数的实部和虚部。

实部等于实数部分，虚部等于虚数部分，计算过程简单易懂，关键在于理解实部和虚部的定义。

1.3 将给定的复数写成极坐标的形式。

极坐标形式可以帮助我们更好地理解复数的性质和特点。在求解过程中，需要注意极角的计算，即用反正切函数计算角度时，要确保角度在定义域内。

1.4 画出指定的复数在复平面上的位置。

在画出复数在复平面上的位置时，需要确定它的实部和虚部，并按照坐标轴的方向进行绘制。同时，需要理解复数与向量的等价性，以及所有复数构成一个平面等概率分布的特点。

第二章

2.1 计算指定的复数的倒数。

倒数的计算需要将复数化简，并用复数的共轭数除以模的平方。此外，要注意分母不为零。

2.2 将指定的复数拆分成实部和虚部的和。

将复数拆分成实部和虚部的和，需要用到复数的基本性质，即实部和虚部分别对应实数和虚数部分。

2.3 计算指定的复数的模和幅角。

模和幅角的计算需要用到复数的极坐标形式。样本中给定的复数已经写成了极坐标形式，因此只需要计算极径和极角即可。

2.4 计算两个复数的和。

两个复数的和的计算只需要按照复数的基本性质，将实部和虚部分别相加。注意，结果应该是一个复数。

第三章

3.1 计算指定的复数的共轭。

指定的复数的共轭可以通过将实部变号，虚部变号或同时变号来得到。其本质是指在复平面上将该复数的图像上下对称。

3.2 计算指定的复数的模。

复数的模的计算需要用到复数的定义，即模等于其与共轭余数的积的平方根。

3.3 计算两个复数的积。

两个复数的积的计算需要按照复数的基本性质，将实部和虚部分别相乘，并注意到 $i^2 = -1$这个关系。

3.4 计算指定复数的倒数。

指定复数的倒数的计算不属于单独的“初等函数”范畴，需要借助复数共轭、模的概念，将倒数化简后再计算。

第四章

4.1 计算指定复数的平方。

指定复数的平方的计算需要按照复数的基本性质，将实部和虚部分别平方。注意，结果应该是一个复数。

4.2 计算指定复数的立方。

指定复数的立方的计算可以根据复数的基本性质，将它化为平方的形式。也可以直接用复数的极坐标形式来计算。

4.3 计算$e^z$。

复数的指数函数的计算需要将复数写成极坐标形式，并注意到$e^x$在复平面上表示为一个距离为$e^x$的向量，与$z$的极角相同。

4.4 计算$\sin z$。

复数的正弦函数的计算需要按照欧拉公式的形式处理，并利用$\sin(ix) = i\sinh(x)$这一性质。

第五章

5.1 计算指定复数的$n$次方。

指定复数的$n$次方的计算可以用复数的极坐标形式，公式为$z^n = r^ne^{in\theta}$。

5.2 计算指定复数的对数。

指定复数的对数的计算需要先将复数写为极坐标形式，然后用复数的模和幅角计算出对数函数的实部和虚部，最后分别加上常数$c$。

5.3 计算$\cos z$。

复数的余弦函数的计算需要按照欧拉公式的形式处理，并利用$\cos(ix) = \cosh(x)$这一性质。

5.4 计算$\tan z$。

复数的正切函数的计算可以用$\tan(z) = \dfrac{\sin(z)}{\cos(z)}$的形式进行计算，其中$\sin(z)$和$\cos(z)$可以用欧拉公式的形式表达出来。

第六章

6.1 计算解析函数$f(z)$的实部和虚部。

解析函数$f(z)$的实部和虚部可以用柯西-黎曼方程表示。其中，柯西-黎曼方程是指$\dfrac{\partial u}{\partial x} = \dfrac{\partial v}{\partial y}$和$\dfrac{\partial u}{\partial y} = -\dfrac{\partial v}{\partial x}$两个方程。

6.2 计算解析函数$f(z)$的导数。

解析函数$f(z)$的导数可以用柯西-黎曼方程和复数微积分的基本定理表示。其中，基本定理是指$\dfrac{df(z)}{dx} = u_x + iv_x$和$\dfrac{df(z)}{dy} = -iu_y + v_y$两个式子。

6.3 计算解析函数$f(z)$在指定点处的函数值。

计算解析函数$f(z)$在指定点处的函数值可以通过利用$f(z)$的泰勒级数展开，然后将解析函数写成极坐标形式，用模和幅角分别代入得到展开式。

6.4 求解解析函数$f(z)$的Laurent级数。

求解解析函数$f(z)$的Laurent级数需要注意到解析函数的奇点，然后利用变量代换和级数求和的性质进行计算。

第七章

7.1 计算指定积分的值。

计算指定积分的值需要运用柯西积分公式，即$\oint_C\dfrac{f(z)}{z-a}dz = 2\pi i f(a)$这个公式，并将积分路径取为一个围绕$a$的小圆。

7.2 计算指定积分的值。

计算指定积分的值需要运用柯西积分公式的推论，即$\oint_C\dfrac{f(z)}{(z-a)^2}dz = 2\pi i f'(a)$这个公式，并将积分路径取为一个围绕$a$的小圆。

7.3 计算指定积分的值。

计算指定积分的值需要将他写成柯西积分的形式，然后利用柯西积分公式和柯西积分公式的推论进行计算，因此需要对$f(z)$进行分解，找出$f(z)$在有极点的点处的级数展开式，并注意到奇点的类型及所在位置。

7.4 求$f(z)$的Laurent系数。

求解$f(z)$的Laurent级数需要首先将$f(z)$分解为某函数在不同奇点处的级数展开之和，然后计算每个奇点处的级数展开，最终将所有展开式相加即可。

总结

《深入解析复变函数》是一本非常优秀的复变函数教材，其中的答案可以帮助我们更好地掌握复数的性质和特点。在学习过程中，如果遇到难点，可以通过查阅答案来寻找思路和解题的灵感。希望读者在学习中取得更好的成绩！