三角函数在数学中是一类非常重要的函数，很多数学问题都涉及到了三角函数。而三角函数的积分在高中数学和大学数学中占有重要地位，掌握这些公式就能轻松应对三角函数积分大挑战。

一、 基本三角函数积分公式

1. $\int \sin x\mathrm{d}x=-\cos x +C$

2. $\int \cos x\mathrm{d}x=\sin x +C$

3. $\int \tan x\mathrm{d}x=-\ln|\cos x| +C$

4. $\int \cot x\mathrm{d}x=\ln|\sin x| +C$

这四个公式是三角函数积分中最基本的公式，也是必须要强化的公式。

二、 倍角公式

$1. \cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$

$2. \sin 2x=2\sin x\cos x$

我们对第一个公式进行证明。根据 $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$，将 $a=b=x$ 代入，得：

$\cos (x+x)=\cos x\cos x-\sin x\sin x=\cos^2 x-\sin^2 x$

此时，如果想要求像 $\int \cos^2 x \mathrm{d}x$ 和 $\int \sin^2 x \mathrm{d}x$ 这样的式子，就可以用上面这个公式将其转化为 $\int\frac{1+\cos 2x}{2}\mathrm{d}x$ 和 $\int\frac{1-\cos 2x}{2}\mathrm{d}x$，然后套用公式就OK了。

三、 积化和差公式

$1. \sin a\cos b=\frac{1}{2}[\sin(a+b)+\sin(a-b)]$

$2. \cos a\sin b=\frac{1}{2}[\sin(a+b)-\sin(a-b)]$

$3. \cos a\cos b=\frac{1}{2}[\cos(a-b)+\cos(a+b)]$

$4. \sin a\sin b=\frac{1}{2}[\cos(a-b)-\cos(a+b)]$

以上公式被称为“积化和差公式”，它可以将一些复杂的三角函数积分转化成较为简单的积分。例如 $\int\sin 3x\cos 4x\mathrm{d}x$ 就可以使用上面的第一个公式进行转化，然后化简即可。

四、 万能公式

$\int R(\sin x ,\cos x )\mathrm{d}x$

万能公式是一种将三角函数积分转化为有理函数积分的方法。它做的事情和积化和差公式类似，但比起积化和差公式，它的可操作性更好。

其实，这个“万能公式”并不需要死记硬背，只要掌握一些基本的三角函数恒等式就行了。

1. $\sin^2 x +\cos^2 x=1$

2. $\tan^2 x +1=\sec^2 x$

3. $1+\cot^2 x=\csc^2 x$

如果不吝惜笔记本纸，这些公式就可以暴力替换出答案。

五、 小技巧

1. 知道$\textrm{tg}x+\sec x$或$\textrm{ctg}x+\csc x$的积分式，就能轻松得出它们的和或差的积分式。

2. 在积分 $\sin x $和 $\cos x$时，有时候会用到 $\textrm{tg}\frac{x}{2}$和 $\textrm{tg}x$的一些公式，这是运用半角公式变化过来的。

3. 积分式 $\int \frac{\mathrm{d}x}{a\cos x +b\sin x}$，如果问题涉及到二次型解析，就可以利用$ay^2+2bxy+cx^2=(\sqrt{a}x+\sqrt{c}y)^2+(\sqrt{b}x-\sqrt{b}y)^2$进行化简。

以上就是三角函数积分的一些基础公式，如果依靠这些公式掌握了，那么即便三角函数积分再复杂也不要怕。虽然熟记公式不能代替对知识的理解，但如果你不了解公式，就无法使用乃至深入理解这些问题。多练习，少记公式，相信每个数学爱好者都能掌握三角函数积分的奥秘！